Le problème de Didon : optimiser un enclos rectangulaire le long d'une rivière

Imaginons un fermier qui dispose d'une longueur fixe de clôture — disons 120 mètres — et qui souhaite délimiter un pré rectangulaire le long d'une rivière. La rivière forme une bordure naturelle : il n'a donc besoin de clôturer que trois côtés.

Quelle forme donner au rectangle pour obtenir la plus grande surface possible ?

Ce problème, en apparence simple, est une version simplifiée du célèbre problème de Didon. C'est aussi une excellente introduction aux techniques d'optimisation.

Mise en équation

Appelons :

• x la largeur du rectangle (les deux côtés perpendiculaires à la rivière)
• y la longueur du rectangle (le côté parallèle à la rivière)

La contrainte est que la clôture totale vaut 120 m :

\(2x + y = 120\)

La surface à maximiser est :

\(A = x \times y\)

En remplaçant y par son expression tirée de la contrainte :

\(A(x) = x \times (120 - 2x) = 120x - 2x^2\)

On obtient une fonction du seul paramètre x. C'est une parabole tournée vers le bas : elle admet bien un maximum.

Résolution par la dérivée

La dérivée d'une fonction mesure sa pente en chaque point. Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la courbe. Quand la dérivée est positive, la fonction monte ; quand elle est négative, la fonction descend. Et au sommet ? La tangente est horizontale : sa pente vaut zéro. C'est exactement ce qu'on voit sur le graphique ci-dessus.

Trouver le maximum revient donc à chercher où la dérivée s'annule. On dérive :

\(A'(x) = 120 - 4x\)

Puis on résout \(A'(x) = 0\) :

\(120 - 4x = 0 \implies x = 30\)

La largeur optimale est donc x = 30 m, ce qui donne :

\(y = 120 - 2 \times 30 = 60 \text{ m}\)

La surface maximale vaut :

\(A = 30 \times 60 = 1\,800 \text{ m}^2\)

Vérification : c'est bien un maximum

Quand la dérivée s'annule, on a trouvé un point critique — mais est-ce un maximum ou un minimum ? C'est la dérivée seconde qui nous le dit. La dérivée seconde mesure comment la pente elle-même évolue :

• Si \(A''(x) < 0\), la pente diminue : la courbe se courbe vers le bas, on est sur une bosse → c'est un maximum.
• Si \(A''(x) > 0\), la pente augmente : la courbe se courbe vers le haut, on est dans un creux → c'est un minimum.

Calculons :

\(A''(x) = -4\)

La dérivée seconde est constante et négative. La courbe se courbe vers le bas partout — c'est bien une parabole "chapeau". Le point critique \(x = 30\) est donc un maximum global sur l'intervalle \([0, 60]\).

Pourquoi le carré n'est-il pas optimal ?

L'intuition pourrait suggérer un carré (trois côtés de 40 m chacun). Calculons :

\(A_{\text{carré}} = 40 \times 40 = 1\,600 \text{ m}^2\)

C'est 200 m² de moins que la solution optimale. L'asymétrie du problème — un côté gratuit grâce à la rivière — brise la symétrie de la solution. Le côté parallèle à la rivière doit être deux fois plus long que les côtés perpendiculaires.

Généralisation

Avec une longueur de clôture quelconque L, les dimensions optimales sont :

Grandeur	Valeur
Largeur (x)	L / 4
Longueur (y)	L / 2
Surface maximale	L² / 8

La longueur est toujours le double de la largeur. C'est un résultat élégant qui ne dépend pas de la valeur de L.

Et le vrai problème de Didon ?

Le problème que nous venons de résoudre est une simplification. Le véritable problème de Didon, issu de la mythologie phénicienne, pose la question suivante : quelle courbe fermée de longueur donnée enferme la plus grande surface ?

La réponse est le cercle — ou, dans la variante avec une bordure droite (comme notre rivière), un demi-cercle. La démonstration rigoureuse a nécessité des siècles de travail mathématique et constitue l'un des fondements du calcul des variations.

Notre version rectangulaire, en se limitant aux formes rectangulaires, transforme un problème complexe en un exercice accessible avec les outils du lycée. C'est là tout l'intérêt : l'optimisation commence souvent par simplifier le problème avant de le résoudre.

Pourquoi c'est utile en ingénierie

Les problèmes d'optimisation sont omniprésents en ingénierie : minimiser la masse d'une pièce tout en respectant des contraintes de résistance, maximiser le volume intérieur d'un réservoir avec une quantité fixe de matériau, ou encore trouver la trajectoire d'usinage la plus rapide.

La démarche est toujours la même :

1. Identifier la grandeur à optimiser (fonction objectif)
2. Exprimer les contraintes
3. Réduire le problème à une seule variable quand c'est possible
4. Résoudre en cherchant les points critiques
5. Vérifier la nature du point critique (minimum ou maximum)

Le pré rectangulaire le long de la rivière est un premier pas dans cette direction.