Dérivées, tangentes et courbures : les maths derrière les courbes en CAO

Dans notre article précédent sur le problème de Didon, nous avons utilisé la dérivée pour trouver le maximum d'une fonction. Mais la dérivée a un sens géométrique bien plus riche : elle décrit la direction dans laquelle une courbe avance en chaque point. En CAO, cette information est fondamentale. Elle permet de calculer des tangentes, des normales et des courbures — trois ingrédients essentiels pour concevoir des pièces aux surfaces lisses et fonctionnelles.

La dérivée, c'est la pente de la tangente

Reprenons les bases. Pour une fonction \(y = f(x)\), la dérivée \(f'(x)\) donne la pente de la tangente à la courbe au point \(x\).

Prenons un exemple concret : la parabole \(f(x) = x^2\). Sa dérivée est \(f'(x) = 2x\). Au point \(x = 1\) :

• La pente de la tangente vaut \(f'(1) = 2\)
• Le point de tangence est \((1, 1)\)

On connaît un point et une pente : c'est suffisant pour écrire l'équation de la tangente. On utilise la formule de la droite passant par \((x_0, y_0)\) avec une pente \(m\) :

\(y - y_0 = m(x - x_0)\)

\(y - 1 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 1\)

La tangente "effleure" la courbe : elle suit exactement la direction de la courbe en ce point. C'est une approximation linéaire locale — la meilleure droite possible pour représenter la courbe au voisinage du point.

Des fonctions aux courbes paramétriques

En CAO, on travaille rarement avec des fonctions sous forme explicite \(y = f(x)\), où \(y\) est directement exprimé en fonction de \(x\). Les courbes que manipule un logiciel comme Inventor utilisent la forme paramétrique : chaque point est décrit par un paramètre \(t\). Cette représentation est bien plus souple — elle permet de décrire des courbes fermées, des boucles ou des trajectoires quelconques, ce que la forme explicite ne permet pas.

En 2D, une courbe paramétrique s'écrit :

\(\mathbf{C}(t) = \big(x(t),\; y(t)\big)\)

Par exemple, un cercle de rayon \(r\) centré à l'origine :

\(\mathbf{C}(t) = \big(r\cos t,\; r\sin t\big), \quad t \in [0, 2\pi[\)

Pour obtenir la tangente, on dérive chaque composante par rapport à \(t\) :

\(\mathbf{C}'(t) = \big(x'(t),\; y'(t)\big)\)

Pour le cercle :

\(\mathbf{C}'(t) = \big(-r\sin t,\; r\cos t\big)\)

Ce vecteur \(\mathbf{C}'(t)\) est le vecteur tangent. Il pointe dans la direction du mouvement le long de la courbe. Au point \(t = 0\) (le sommet droit du cercle), le vecteur tangent vaut \((0, r)\) : il pointe vers le haut, ce qui est bien perpendiculaire au rayon — exactement ce qu'on attend.

Le vecteur normal

Le vecteur normal est perpendiculaire à la tangente. En 2D, on l'obtient en faisant tourner le vecteur tangent de 90 degrés :

\(\mathbf{n}(t) = \big(-y'(t),\; x'(t)\big)\)

Le vecteur normal est essentiel en CAO : il définit la direction dans laquelle une surface "regarde". C'est lui qui détermine comment la lumière se réfléchit sur une pièce, comment un outil d'usinage doit s'orienter, ou dans quelle direction extruder un profil.

La courbure : mesurer comment une courbe tourne

La tangente nous dit où va la courbe. Mais à quelle vitesse change-t-elle de direction ? C'est la question à laquelle répond la courbure, notée \(\kappa\) (kappa).

La courbure mesure l'inverse du rayon du cercle qui épouse le mieux la courbe en un point donné — le cercle osculateur. Plus la courbe tourne brusquement, plus le cercle osculateur est petit, et plus la courbure est grande.

\(\kappa = \frac{1}{R}\)

où \(R\) est le rayon du cercle osculateur.

Pour une courbe paramétrique en 2D, la courbure se calcule avec les dérivées première et seconde :

\(\kappa(t) = \frac{\left| x'(t)\, y''(t) - y'(t)\, x''(t) \right|}{\left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right)^{3/2}}\)

La formule peut sembler intimidante, mais elle ne fait que combiner deux informations : la direction de la tangente (dérivée première) et la vitesse à laquelle cette direction change (dérivée seconde).

Vérifions sur le cercle de rayon \(r\) :

• \(x(t) = r\cos t\), donc \(x'(t) = -r\sin t\) et \(x''(t) = -r\cos t\)
• \(y(t) = r\sin t\), donc \(y'(t) = r\cos t\) et \(y''(t) = -r\sin t\)

En injectant dans la formule :

\(\kappa = \frac{|(-r\sin t)(-r\sin t) - (r\cos t)(-r\cos t)|}{(r^2\sin^2 t + r^2\cos^2 t)^{3/2}} = \frac{r^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}{(r^2)^{3/2}} = \frac{r^2}{r^3} = \frac{1}{r}\)

La courbure d'un cercle est constante et vaut \(1/r\). C'est rassurant : un cercle tourne toujours de la même façon.

Continuité G0, G1, G2 : les niveaux de raccordement

En CAO, les courbes et surfaces sont souvent constituées de plusieurs morceaux raccordés entre eux. La qualité du raccordement se mesure en niveaux de continuité géométrique :

G0 — Continuité de position

Les deux morceaux se touchent au point de jonction, mais peuvent former un angle. C'est le minimum pour que la géométrie soit connexe.

G1 — Continuité de tangente

Les deux morceaux partagent la même direction de tangente au point de jonction. Il n'y a plus d'angle visible, mais la courbure peut changer brutalement.

G2 — Continuité de courbure

Les deux morceaux partagent la même courbure au point de jonction. La transition est imperceptible — c'est le standard pour les surfaces de classe A en design automobile et aéronautique.

La différence entre G1 et G2 est subtile visuellement, mais elle se révèle immédiatement dans un peigne de courbure — un outil d'analyse courant en CAO qui affiche la courbure le long d'une courbe sous forme de barres perpendiculaires. En G1, le peigne présente un saut brusque au raccordement. En G2, il est continu.

Extrait de la documentation du logiciel Alias (Autodesk)

Pourquoi c'est important en CAO

Ces notions mathématiques ont des conséquences très concrètes en conception :

• Esthétique : sur une carrosserie automobile, un défaut de continuité G2 crée des reflets irréguliers visibles à l'oeil nu. Les lignes de lumière qui se reflètent sur la surface révèlent impitoyablement les discontinuités de courbure.

• Usinage : une trajectoire d'outil avec des discontinuités de tangente provoque des à-coups mécaniques. La machine doit décélérer puis réaccélérer à chaque angle, ce qui augmente le temps d'usinage et l'usure de l'outil.

• Aérodynamique : en conception aéronautique, la continuité de courbure influence directement l'écoulement de l'air. Une discontinuité peut provoquer un décollement de la couche limite.

• Injection plastique : les raccordements anguleux concentrent les contraintes mécaniques et perturbent l'écoulement du plastique fondu dans le moule.

En résumé

Concept	Ce qu'il mesure	Outil mathématique
Tangente	Direction de la courbe	Dérivée première
Normale	Direction perpendiculaire	Rotation de la tangente
Courbure	Vitesse de changement de direction	Dérivées première et seconde
Continuité G0	Position	Valeur de la courbe
Continuité G1	Direction	Dérivée première
Continuité G2	Courbure	Dérivée seconde

La dérivée n'est pas qu'un outil de calcul abstrait : elle est au cœur des algorithmes qui permettent aux logiciels de CAO de représenter, analyser et fabriquer des formes complexes. Chaque fois qu'Inventor calcule une tangente, affiche un peigne de courbure ou vérifie la continuité entre deux surfaces, ce sont ces mêmes formules qui travaillent en coulisses.

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